Modelo SIR e Estabilidade - Epidemiologia Matemática

Ideia Geral

Na epidemiologia matemática, usamos modelos dinâmicos para descrever como as doenças evoluem. De forma simplificada, entendemos um modelo dinâmico como um sistema que muda com o tempo, onde a situação atual define o que vai acontecer em seguida. Em vez de olhar para um momento parado, observamos o fluxo contínuo de pessoas entre diferentes estados.

O modelo SIR aplica isso dividindo a população em três grupos: Suscetíveis, Infectados e Recuperados. As equações que apresentamos definem justamente como as pessoas passam de um grupo para o outro.

O Modelo SIR com Dinâmica Vital

Consideramos uma população total $N$. Assumimos que as taxas de natalidade e mortalidade são iguais ($\mu$), o que mantém o número total de pessoas constante. As equações diferenciais que regem o sistema são:

$$ \frac{dS}{dt} = \mu N - \beta \frac{S I}{N} - \mu S $$ $$ \frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I - \mu I $$ $$ \frac{dR}{dt} = \gamma I - \mu R $$

$\beta$: Taxa de transmissão.
$\gamma$: Taxa de recuperação.
$\mu$: Taxa de natalidade/mortalidade.

Número Básico de Reprodução ($R_0$)

O parâmetro $R_0$ define a média de infecções produzidas por um único indivíduo infectado em uma população suscetível. Para o nosso modelo:

$$ R_0 = \frac{\beta}{\gamma + \mu} $$

Se $R_0 > 1$, a doença pode invadir a população (epidemia). Se $R_0 < 1$, a doença tende a desaparecer.

Por que Precisamos de Métodos Numéricos?

O sistema SIR não possui solução analítica fechada devido à não-linearidade do termo $\beta \frac{SI}{N}$. Para obter as curvas $S(t), I(t), R(t)$, usamos o método Runge-Kutta disponível na biblioteca SciPy.

Definições

O método trabalha com os seguintes elementos:

$y_n = (S_n, I_n, R_n)$: vetor de estado no instante $t_n$.
$f(y)$: função que retorna as derivadas $\left(\frac{dS}{dt}, \frac{dI}{dt}, \frac{dR}{dt}\right)$ dado um estado $y$.
$h$: tamanho do passo de tempo.
$k_1, k_2, k_3, k_4$: estimativas da derivada em diferentes pontos do intervalo $[t_n, t_{n+1}]$.

O Método Runge-Kutta

O RK4 calcula o próximo estado $y_{n+1}$ avaliando a derivada em 4 pontos: no início, duas vezes no meio, e no fim do intervalo.

$$ k_1 = f(y_n) $$ $$ k_2 = f\left(y_n + \frac{h}{2} k_1\right) $$ $$ k_3 = f\left(y_n + \frac{h}{2} k_2\right) $$ $$ k_4 = f(y_n + h \cdot k_3) $$

O novo estado é uma média ponderada dessas estimativas:

$$ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right) $$

Não nos aprofundamos na teoria por trás do método. Escolhemos o Runge-Kutta de 4ª ordem por ter uma boa precisão para sistemas de EDOs e ser bastante utilizado. Na prática, utilizamos a implementação pronta da biblioteca SciPy em Python.

População Fechada vs. Aberta

Uma diferença importante na modelagem é entre modelos de população fechada ($\mu = 0$) e aberta ($\mu > 0$).

Modelo Fechado ($\mu = 0$)

Não entra ninguém novo. A doença consome a população suscetível até não conseguir mais se sustentar. A infecção some ($I \to 0$) e não há estado endêmico.

Modelo Aberto ($\mu > 0$)

Nascimentos trazem novos suscetíveis ("combustível"). Se $R_0 > 1$, a doença não some, mas oscila até um equilíbrio endêmico ($I^* > 0$).

Gráfico comparando SIR Fechado vs Aberto — Esquerda: População Fechada (surto único). Direita: População Aberta (oscilação até endemia).

Análise de Estabilidade

Para entender o longo prazo, buscamos os pontos de equilíbrio ($\dot{S} = \dot{I} = \dot{R} = 0$). Encontramos dois principais:

Equilíbrio Livre de Doença: $I^* = 0, S^* = N$.
Equilíbrio Endêmico: (Só se $R_0 > 1$) $$ S^* = \frac{N}{R_0}, \quad I^* = \frac{\mu N}{\beta} (R_0 - 1) $$

Dedução Analítica dos Equilíbrios

Partimos das condições onde as derivadas são nulas: $\dot{S} = 0, \dot{I} = 0, \dot{R} = 0$.

Obtendo $S^*$

Da equação $\dot{I} = 0$:

$$ \beta \frac{S^* I^*}{N} - (\gamma + \mu) I^* = 0 $$ $$ I^* \left( \frac{\beta S^*}{N} - (\gamma + \mu) \right) = 0 $$

Isso gera duas possibilidades:

$I^* = 0$ (Livre de Doença)
$\frac{\beta S^*}{N} - (\gamma + \mu) = 0$ (Endêmico, $I^* > 0$)

Para o caso endêmico:

$$ S^* = \frac{N (\gamma + \mu)}{\beta} = \frac{N}{R_0} $$

Obtendo $I^*$

Da equação $\dot{S} = 0$:

$$ \mu N - \beta \frac{S^* I^*}{N} - \mu S^* = 0 $$ $$ I^* = \frac{\mu N (N - S^*)}{\beta S^*} $$

Substituindo $S^* = N/R_0$:

$$ I^* = \frac{\mu N}{\beta} (R_0 - 1) $$

Obtendo $R^*$

Como a população é constante: $ R^* = N - S^* - I^* $.

Estabilidade Local

Analisamos a matriz Jacobiana $J$ nos pontos de equilíbrio. Para o equilíbrio endêmico, a Jacobiana é:

$$ J = \begin{pmatrix} -\beta \frac{I}{N} - \mu & -\beta \frac{S}{N} \\ \beta \frac{I}{N} & \beta \frac{S}{N} - (\gamma + \mu) \end{pmatrix} $$

Os autovalores podem ter parte real negativa e parte imaginária, indicando um foco estável. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio através de oscilações amortecidas.

Periodicidade e Oscilações

Verificamos que há oscilações quando $ 4\det(J) - \operatorname{tr}(J)^2 > 0 $. Nesse caso, o período das oscilações $T$ é dado por:

$$ T \approx \frac{4\pi}{\sqrt{4\det(J) - \operatorname{tr}(J)^2}} $$

Substituindo os termos do nosso modelo:

$$ T \approx \frac{4\pi}{\sqrt{4\mu(\beta - \gamma - \mu) - \frac{\beta^{2}\mu^{2}}{(\gamma + \mu)^{2}}}} $$

Após uma perturbação, as soluções retornam ao equilíbrio com esse período e uma taxa de decaimento $\tau$.

Conclusão

As simulações confirmaram nossa teoria. Concluímos que o modelo SIR com dinâmica vital mostra que doenças com $R_0 > 1$ tendem a persistir na população de forma estável, mas não sem antes passar por ciclos de surtos (oscilações).

O código Python que usamos para gerar as animações está disponível para download:

Ver Código Python →

Contribuições do grupo

Pedro Cid

Desenvolvimento do código em Python
Elaboração do relatório escrito

Angelo Serafini

Criação dos slides da apresentação
Análise de oscilações e periodicidade

Referência

Bjørnstad, O. N. (2018). Epidemics: Models and Data using R. Springer International Publishing. Link pelo site da springer: https://doi.org/10.1007/978-3-319-97487-3

Análise do Modelo SIR com Dinâmica Vital e Estabilidade